Question

请帮忙回答一些问题

1.证明有无穷多个n,使n^2+n+41
（1）表示合数；
（2）为43倍数；
2.已知正整数p,q都为质数，且7p+q,pq+11也为质数，求p^q+q^p;
3.1与0交替排列成下列一组数：101,10101,1010101,10101010101..........
这组数有多少质数？证明。

Answer 1

1.
1）
n^2+n+41=n(n+1)+41
可以看成两个相邻的自然数相成再加41

所以最直接的结论：
当n=40的时，40*41+41=41^2=1681

当n=41时，41*42+41=41*43=1763
所以：
令n=41k-1（k是任意正整数）
n^2+n+41=n(n+1)+41 =（41k-1)*41k+41=41[（41k-1)k+1]
所以：
有无穷多个n，使多项式n2+n十41 表示合数

2）
n2+n十41=n2+n-2+43=（n+2)(n-1)+43
令n=43k+1（k是任意正整数）
n2+n十41=（n+2)(n-1)+43=（43k+3)*43k+43=43[(43k+3)k+1]
即：
有无穷多个n，使多项式n2+n十41 为43的倍数．

2.解：∵pq+11是质数∴pq+11一定是奇数

∴pq一定是偶数

又∵p、q均为质数．∴p=2，或q=2

若p=2，由于7p+q、pq+11都是质数

∴q+14与2q+11都是质数

显然q不能为3k+1和3k+2型的自然数，因为这样q+14或2q+11将是3的倍数而不是质数．∴q只能是3．

若q=2

则7p+2与2p+11均应为质数．

设p=3k+l，则7(3k+1)+2=21k+9能被3整除

设p=3k+2，则2(3k+2)+11=6k+15能被3整除．

∴p只能是3的倍数，即p=3

综上分析，则p和q一个是2，一个是3．

∴(pq+qp)÷(2p+2q)
=(8+9)/(4+8)=17/12

3.可以把每个数字看成是首项1,公比为100的,等比数列求和,就是这些数的表达
N=1x(1-q^n)/(1-q)
N表示第几个数的数值,q是公比,n是第几个数,^是多少次方
N=100^n-1/99
只有当n=1的时候,该数不能分解因式为质数
当n=其他数的时候都能分解从前面一个式子分解而得,所以命题得证 。