Question

请问这道几何题怎么做啊？

已知DA⊥AB,BE⊥AB,CF⊥AB,AD=BC,BE=BC,AB=CF,∠AFB=51°,求∠DFE=?

Answer 1

解：

请你认真看完，我也是想了一天多还是用手机回复的，

设AB=BE=a,AB=CE=b,∠ABF=β,

则tanβ=b/a,

tan51
=tan(∠BFC+∠AFC)
=[tan(90-β)+tan(180-51-β)]/[1-tan(90-β)*tan(180-51-β)]
=[cotβ-tan(51+β)]/[1+cotβ*tan(51+β)]
=[1-tanβtan(51+β)]/[tanβ+tan(51+β)]
=1/tan(2β+51)
=[1-tan(2β)*tan51]/[tan(2β)+tan51]

然后解这个关于tan(2β)和tan51的等式，用tan51表示tan(2β)得：

tan(2β)
=[1-tan²51]/[2*tan51]
=1/tan(51*2)
=1/tan102
=cot102
=tan(90-102+180)
=tan168

因为β是锐角，所以2β=168°，即β=84°，

其实最后的结果还是无法直接用度数表示的，tanβ=b/a,

tan∠DFE
=tan(∠DFC+∠BFC)
=[(b-a)/(a+b)+a/(a+b)]/{1-[(b-a)/(a+b)]*[a/(a+b)]}
=[b/(a+b)]/{1+[(a-b)a]/(a+b)²}
=[ab+b²]/[2a²+b²+ab]
=[(b/a)+(b/a)²]/[2+(b/a)²+(b/a)]
=[tanβ+tan²β]/[2+tan²β+tanβ]
=(tan84°+tan²84°)/(2+tan84°+tan²84°)
=(tan6°+1)/(2tan²6°+tan6°+1)

用科学计算器也只能解出近似度数，用反三角函数表示结果就是：

∠DFE=arctan[(tan6°+1)/(2tan²6°+tan6°+1)]

这应该是我见过的三角运算变换比较多的题目了。。

谢谢！

Answer 2

解：连接BD
因为AD=BC AB=BF ∠DAB=∠BCF=90°
所以△ABD≌△CBF（sas）
所以DB=BF ∠DBA=∠CFB
∴∠CFB+∠CBF=90°=∠DBA+∠CBF
所以DB⊥BF
∴△DBF为等腰直角三角形
所以∠DFB=45°
又∵∠AFB=51°
所以∠DFA=51°-45°=6°

易证△DAF≌△EBF
所以∠EFB=∠DFA=6°
所以∠DFE=51°-6°-6°=39°