Question

一道有趣的证明题

在任意的五个自然数中，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。试证明。

Answer 1

证明如下：

假设有任意五个自然数，可以知道任意的五个自然数，分别都是3N、3K+1、3T+2（其中，N、K、T都是正整数）三种情形的自然数。

任意的五个自然数中找出任意的3个数时，必然有以下两种情形：
①有三个以上的3N、3K+1、3T+2当中之一的同一数形的三个数同时出现，
必然可以能选出三个同一数形的“3×3N、3×（3K+1）、3×（3T+2）”都能被3整除。

②仅有两个是同一数形出现时，
则：必然出现“2、2、1”情形，即3N、3K+1、3T+2数型，都出现。
可以知道：3N、3K+1、3T+2的三数之和，能被3整除。

综上所述，在任意的五个自然数中，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。

Answer 2

转）按照被3除所得的余数，把全体自然数分成3个剩余类，即构成3个抽屉.如果任选的5个自然数中，至少有3个数在同一个抽屉，那么这3个数除以3得到相同的余数r，所以它们的和一定是3的倍数（3r被3整除）。

如果每个抽屉至多有2个选定的数，那么5个数在3个抽屉中的分配必为1个，2个，2个，即3个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取1个数，那么这3个数除以3得到的余数分别为0、1、2.因此，它们的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。
回答者： ★追火者★