Question

三道初二数学题

1.如图1所示，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE²-BE²=AC²

2.CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=2，AC：BC=3：1，则CD为（ ？）

A.1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5

3.清晨5点半，一艘时速20千米的客轮从甲港向正南方30千米的乙港开出，在乙港停留1小时后再像正西60千米的丙港航行，9点时甲港一艘时速70千米的公安汽艇奉命追捕客轮上的一名逃犯，问汽艇至少要在什么时间才能追上客轮？

Answer 1

1.解题的思路是AE²和BE²各等于什么，可能就可以得出AC²。将几何的题目化作代数，
连接AD
根据勾股定理可得
AE²=AD²-DE²=（AC²+CD²）-DE²
BE²=BD²-DE²
所以将几何化为代数来看
AE²-BE²=【（AC²+CD²）-DE²】-（BD²-DE²）
=AC²+CD²-BD²
=AC²（因为CD=BD，D是中点）

2.C
因为CD是斜边上的高，所以可以知道角ACB是直角，因为AC：BC=3：1
设BC=X，即AC=3X，根据勾股定理
（3X）²+X²=2²
得X=根号（2/5）
因为角ACB=角CDB，而角ABC=角CBD，所以三角形ACB与三角形CBD相似，
所以CD：BD=3：1，设DB=Y，根据勾股定理
（3Y）²+Y²=【根号(2/5)】²
得出Y=1/5
3Y=3/5

3.因为从甲港到乙港，客轮只需1.5小时（30/20=1.5），而从5点半到9点有3.5小时，所以说明其实在公安快艇出发时，客轮已经从乙港休息完，向丙港开过去又开了1个小时了。
所以其实客轮在快艇出发时总共走了30+20X1=50千米。
设快艇出发后X小时追到客轮，因为两只船的总路程应该相等，所以
20X+50=70X
X=1
所以在10点钟时离丙港还有20千米的地方，快艇追上了客轮。