Question

启东中学作业本七年级数学上人教版第16页的题

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15.C 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式 --- + --------- +
ab (a+1)(b+1)

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--------- + --------- …… + ----------------- 的值
(a+2)(b+2) (a+3)(b+3) (a+2008)(b+2008)
不要只把算式什么的弄出来，最好解释一下为什么在线等

Answer 1

根据七年级教材要求学生懂得观察规律，所以有以下几个关键点：
（1）由已知|ab-2|与|b-1|互为相反数得：|ab-2|=0且|b-1|=0（非负数中只有0的相反数是0）即先得b=1再得a=2；所以代数式化为：
1*2+2*3+3*4+4*5+……+2009*2010
=1*（1+1）+2*（2+1）+3*（3+1）+4*（4+1）+…+2009*（2009+1）
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+(4^2+4)+…+（2009^2+2009)
=(1+2+3+4+…+2009）+（1^2+2^2+3^2+4^2+…+2009^2)
(2)1+2+3+4+…+2009的和用基本公式可求，即1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2
这个式子关键在于求1^2+2^2+3^2+4^2+…+2009^2的值；以下为公式的推导：

这里讲2种方法，设Sn=1^2+2^2+……+n^2。
方法1：
（可以理解1个1+2个2+3个3+…+n个n）展开成
1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……
+n
用求和公式得：
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……
+(n+n)(n-(n-1))/2
化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+（2+3+4+……+n）]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
这就相当于得到一个关于Sn的方程。
化简一下：
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn，
得
Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n=1/6*n(n+1)(2n+1)

方法2：
Sn=S(n-1)+n^2
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了！等式左面全是n,右面全是(n-1)，以此递推下去，得
Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……
=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0
所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n

所以原式=2009*（2009+1）/2 +2009*(2009+1)*(2*2009+1)/6=2706866330
本题第二个公式推导对于学生来说有相当的难度。
最后还是会帮到楼主！！