Question

根号下1+x^2怎么积分？

Answer 1

利用第二积分换元法，令x=tanu，则

∫√(1+x²)dx

=∫sec³udu=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|secu+tanu|-∫sec³udu,

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C,

从而∫√(1+x²)dx=1/2(x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²)))+C

积分：

积分都满足一些基本的性质，在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。