Question

数列的极限

数列{1}、{3,5}、{7,9,11}、{13,15,17,19}、……，猜想第n个数集中所有元素的和是

Answer 1

解答:

第一个数集中有一个数；
第二个数集中有两个数；
第三个数集中有三个数；
第四个数集中有四个数；
..........................
第n 个数集中有n 个数。

第一个数集的起始数是1；
第二个数集的起始数是3=2×1+1；
第三个数集的起始数是7=3×2+1；
第四个数集的起始数是13=4×3+1；
...........................
第n 个数集的起始数是n²-n+1=n×(n-1)+1

所以，第n个数集的所有元素之和为：[首数+尾数]×项数/2
{(n²-n+1)+[(n²-n+1)+2×(n-1)]}×n/2
=[2n²-2n+2+2n-2]/2 = n³

Answer 2

数列第n个项：{ n(n-1)+1 ,n(n-1)+3 ,...,n(n+1)-1}

数列前n项的和是：
[1+3+5+...+n(n+1)-1]= n^2(n+1)^2/4

数列第n个项集中所有元素的和是:
[1+3+5+...+n(n+1)-1] -[1+3+5+...+n(n-1)-1]
= 1/2*n(n+1)*n(n+1)/2 - 1/2*n(n-1)*n(n-1)/2
= 1/4*n^2*4n
= n^3