Question

三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点，求证：F是BC的中点

三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点，求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF

Answer 1

（1）连接OF

∵CD是直径 ∴CD过O点

∴CO=OF=1/2CD

在RT△ABC中 ∵D是AB中点

∴CD=AC=DB=1/2AB

∴CO:CD=OF：DB=1/2

又∵∠OFD=∠ODF=∠DBC

∴OF//AB ∠COF=∠CDB

△COF∽△COB

∴CF：BC=1:2 F是BC中点

（2）连接CG（没有图我不知道G在AB边还是E在AB边，如果是E的话就把我的G换成E)

∵DC是直径 ∴∠CGB=90°（直径所对圆周角为90°)

∴∠GCB+∠B=90°

又∵∠A+∠B=90° ∴∠A=∠GCB

有∵∠GCB=∠GEF（同弧所对圆周角相等)

∴∠A=∠GEF