Question

高数题，这两个极限怎么求?

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Answer 1

朋友，你好！乱七八糟答案真多……详细完整清晰过程rt，希望能帮到你解决你心中的问题

Answer 2

第一道使用积分中值定理来求，

第二题如下。

追答

也可以用积分中值定理

追问

请问一下第二题我这么做错在哪?

你的答案 这个地方是个＋号 我的是个减号

追答

嗯，你的也是正确的。本来sin(α+kπ)=sin(α-kπ)

追问

但我这样做的话那个sin括号里面的就是趋于无穷大没法等价代换做不出来。

追答

哈哈，是滴，表面看起来结果一样，但是你要后面能构造出来“0”的形式。所以，只能用加法的，因为已经明确说了k是负值。这个是个隐藏条件

Answer 3

分享解法如下。第1小题。设f(x)=[x^(1/k)]/(1+x²)。对f(x)求导，有f'(x)=[x^(1/k)][1+(1-2k)x²]/[kx(1+x²)]。∴f(x)的极值点为x=1/√(2k-1)。
显然，k→∞时，x→0。∴x∈[1,√3]时，f'(x)<0，f(x)是单调减函数。∴ 3^[(1/(2k)]/(1+x²)≤ f(x)≤1/(1+x²)。
∴3^[(1/(2k)]∫(1,3^(1/2))dx/(1+x²)≤∫(1,3^(1/2)) f(x)dx≤∫(1,3^(1/2))dx/(1+x²)。
利用夹逼定理和lim(k→∞)3^[(1/(2k)]=1，∴原式=arctan(√3)-π/4。
第2小题，∵π√(k²+4)=[π√(k²+4)-kπ]+kπ={4π/[√(k²+4)+k]}+kπ，∴sin[π√(k²+4)]=[(-1)^k]sin{4π/[√(k²+4)+k]}。
∴原式=lim(k→∞)ksin{4π/[√(k²+4)+k]}。
又，k→∞时，sin{4π/[√(k²+4)+k]}~4π/[√(k²+4)+k]。∴原式=lim(k→∞)4kπ/[√(k²+4)+k]=2π。