Question

在三角形ABC中,角ABC=3角C,AD是角BAC的平分线BE垂直AD于点E,试说明:AC-AB=2BE

Answer 1

解：延长BE交AC于F。
AE既是∠BAC平分线，又是三角形ABF的高，所以三角形ABF是等腰三角形。
AF=AB，BF=2BE ，∠ABF=∠AFB 。（当然也可以证明三角形ABE全等于三角
形AFE，利用AAS证明）
∠AFB=∠C+∠FDC，∠ABC=∠FDC+∠ABF=∠FDC+∠AFB=∠C+2∠FDC。已知
∠ABC=3∠C，得∠C=∠FDC，所以BF=CF=AC-AF=AC-AB。又因为已证BF=2BE
所以BE=1/2（AC-AB）

Answer 2

证：延长BE交AC于点F
∵AE平分∠BAF AE⊥BF
∴在等腰三角形中﹙三线合一）
AF=AB BF=2BE
∴∠ABF=∠AFB﹙等边对等角﹚
又∵∠AFB=∠C﹢∠FBC
∠ABC=∠ABF﹢∠FBC=∠AFB﹢∠FBC
=∠C+2∠FBC
∵∠ABC=3∠C
∴∠C=∠FBC
∴BF=FC=2B（等量对换）
即BE=1／2(AC-AB)