Question

单调性证明

证明
1..函数f(x)=x^2+1在（-∞，0）上是减函数
2.函数f(x)=1-1/x在（-∞，0）上是增函数

Answer 1

1.设x1＜x2＜0
f(x1)-f(x2)=(x1^2+1)-(x2^2+1)

=x1^2-x2^2

=(x1-x2)(x1+x2)
x1-x2＜0，x1+x2＜0
所以，f(x1)-f(x2)＞0
f(x1)＞f(x2)
所以，f(x)在（-无穷大，0）上是减函数

2.f(x)的导数df(x)/dx=-1/x^2,

导数在x>0上始终大于0，所以f(x)在x>0上是增函数。

方法（2）

如果你没学导数的话，就用最普通的方法。

设x1>0,x2>0;且x1<x2.

f(x1)-f(x2)=1/x2-1/x1=(x1-x2)/(x1x2)<0

所以f(x)单调递增。