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解:设u=e^x×cosx-1-x，v=x² 原式=lim(x-0)u/v=lim(x-0)u'/v'=lim(x-0)u"/v" lim(x-0)(e^x×cosx-e^x×sinx-1)'/2x= -lim(x-0)e^xsinx=0
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x->0
e^x = 1+x +(1/2)x^2+o(x^2)
cosx = 1-(1/2)^2 +o(x^2)
e^x.cosx
=[1+x +(1/2)x^2+o(x^2)].[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]
=[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]+x[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] +(1/2)x^2.[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] +o(x^2)
=[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]+[x+o(x^2)] +[(1/2)x^2 +o(x^2)] +o(x^2)
=1+x +o(x^2)
e^x.cosx -1-x =o(x^2)
lim(x->0) [e^x.cosx -1-x]/x^2 =0
e^x = 1+x +(1/2)x^2+o(x^2)
cosx = 1-(1/2)^2 +o(x^2)
e^x.cosx
=[1+x +(1/2)x^2+o(x^2)].[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]
=[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]+x[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] +(1/2)x^2.[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] +o(x^2)
=[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]+[x+o(x^2)] +[(1/2)x^2 +o(x^2)] +o(x^2)
=1+x +o(x^2)
e^x.cosx -1-x =o(x^2)
lim(x->0) [e^x.cosx -1-x]/x^2 =0
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这个题其实也很简单的因为这是极限题中的一种传统题目
可以直接用那个洛必达法则 也可以用泰勒公式展开来求解的
可以直接用那个洛必达法则 也可以用泰勒公式展开来求解的
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