Question

高中数学求值域问题

y=(3x+1)/(x-2)
y-5/(2x^2-4x+3)
y=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1)
请问这种类型的求值域怎么求？一定要有过程

Answer 1

1．分离法
y=(3x+1)/(x-2)，定义域为{x|x≠2}
y=(3x+1)/(x-2)=7/(x-2)+3
当x≠2时，7/(x-2)≠0，y≠3
∴函数值域为{y|y∈R且y≠3}；

2．利用函数的单调性，数形结合
y=5/(2x²-4x+3)，定义域为R，
y=5/(2x²-4x+3)=5/[2(x-1)²+1]，
∵x∈R，
∴2(x-1)²+1≥1；
0<5/2(x-1)²+1≤5
∴函数值域为（0，5]

3．判别式法
y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)，定义域为R，
y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)可化为
y(x²+x+1)= 2x²-x+2
(y-2)x²+(y+1)x+(y-2)=0，
当x∈R时，上面的方程有解.
①当y=2时，x=0，∴y=2；
②当y≠2时，
(y+1) ²-4(y-2) ²≥0
(3y-3)(-y+5) ≥0
(y-1)(y-5) ≤0,
得1≤y≤5，
又y≠2，∴1≤y≤5且y≠2，
由①②，函数的定义域为[1，5].

Answer 2

y=(3x+1)/(x-2)
=[3(x-2)+7]/(x-2)
=3+7/(x-2)
y≠3

y=5/(2x^2-4x+3)
=5/[2(x-1)^2+1]
2(x-1)^2+1>=1
0<y<=5

y=(2x^2-x+2)/(x^2+x+1)
x^2+x+1=(x+1/4)^2+3/4>0所以定义域为R
化为关于x的一元二次方程
(y-2)x^2+(y+1)x+y-2=0
△=(y+1)^2-4(y-2)^2>=0
解得1<=y<=5