Question

几何题解答三角形ABC的面积为1，BD:DC=2:1,E是AC的中点，AD与BE相较于点P,那么四边形PDCE的面积为多少？

Answer 1

解:从点C做AD平行线,交BE延长线于F.
CF‖AP ∴∠ECF=∠EAP,∠EFC=∠EPA,AE=CE△AEP≌△CEF,PE=EF
CF‖AP,PF:PB=CD:BD=1:2,∴PE:PB=1:4 BD=2/3BC,S△ABD=2/3; AE=1/2AC,S△ABE=1/2; PE=1/5BE,S△APE=1/10
S四边形PDCE=S△ABC-S△ABD-S△APE=1-2/3-1/10=7/30.

Answer 2

解:

此题用到了等高的三角形面积比等于底边的比，还有三角形面积公式，

E是AC中点，

所以
S△BEC=(1/2)S△ABC=1/2,

三角形有面积公式S=(1/2)ab*sin<a,b>,

过E作BC的平行线交AD于M,

则
EP/PB
=EM/BD
=EM/(2BC)
=(1/2)*(EM/BC)
=(1/2)*(AE/AC)
=1/4,

BP/BE=4/5,

BD/BC=2/3,

所以
S△BPD/S△BEC
=(BP*BD*sin∠EBC/2)/(BE*BC*sin∠EBC/2)
=(BP/BE)*(BD/BC)
=(4/5)*(2/3)
=8/15

所以
S(PDCE)/S△BEC=7/15,

所以
S(PDCE)=(7/15)*(1/2)=7/30

谢谢！

Answer 3

最简便的方法：
连接CP，设ΔCPD面积=x,ΔCPE面积=y
ΔBPD面积=2*ΔCPD面积=2x
ΔBCE面积=ΔBCA面积...........1
ΔAPE面积=ΔCPE面积...........2

2式-1式
ΔABP面积=ΔCBP面积=3x
BD:DC=2:1
ΔADB面积=2ΔADC面积
3x+2x=2*(x+2y)................3
ΔABC面积=1
x+2x+3x+2y=1..................4
3式与4式联立解二元一次方程，
四边形PDCE的面积=x+y=7/30

毕！！