Question

数学三角函数题

已知sinA+sinB=1/5,cosA+cosB=1/3,[1-cos2(A+B)+sin2(A+B)]/[1+cos2(A+B)+sin2(A+B)] 要过程

Answer 1

∵sinA+sinB=1/5 ,cosA+cosB=1/3
∴2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=1/5 ①
2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=1/3 ②
①/②得 tan[(A+B)/2]=3/5

[1-cos2(A+B)+sin2(A+B)]/[1+cos2(A+B)+sin2(A+B)]
={1-cos²(A+B)+sin²(A+B)+2sin(A+B)cos(A+B)}/{1+cos²(A+B)-sin²(A+B)+2sin(A+B)cos(A+B)}
={2sin²(A+B)+2sin(A+B)cos(A+B)}/{2cos²(A+B)+2sin(A+B)cos(A+B)}
=sin(A+B)/cos(A+B)
=tan(A+B)
=2tan[(A+B)/2]/{1-tan²[(A+B)/2]} （万能公式）
=(2×3/5)/(1-3/5×3/5)
=15/8

Answer 2

解：将sinA+sinB=1/5,cosA+cosB=1/3平方得
(sinA)^2+(sinB)^2+2sinAsinB=1/25
(cosA)^2+(cosB)^2+2cosAcosB=1/9
两式相加得，
2+2cos(A-B)=34/225
得cos(A-B)=-208/225
两式相减得，
cos2A+cos2B+2cos(A+B)=16/225
即cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+2cos(A+B)=16/225
即2cos(A+B)cos(A-B)+2cos(A+B)=16/225
即cos(A+B)[1+cos(A-B)]=8/225
即cos(A+B)*(17/225)=8/225
得cos(A+B)=8/17
sin(A+B)=15/17或-15/17
故tan(A+B)=8/15或-8/15
下面化简
[1-cos2(A+B)+sin2(A+B)]/[1+cos2(A+B)+sin2(A+B)]
={2[sin(A+B)]^2+2sin(A+B)cos(A+B)}
/{2[cos(A+B)]^2+2[sin(A+B)cos(A+B)]}
=tan(A+B)=8/15或-8/15