Question

已知x1、x2是方程x²-（k-2)x+(k²+3k+5)=0的两个实根，则x1²+x2²的最大值是多少

Answer 1

有两个解
则判别式=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0
k^2-4k+4-4k^2-12k-20>=0
3k^2+16k+16<=0
(3k+4)(k+4)<=0
-4<=k<=-4/3

x1+x2=k-2,x1*x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=k^2-4k+4-2k^2-6k-10
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
-4<=k<=-4/3
所以k=-4时，最大值=18

Answer 2

x1+x2=k-2,x1x2=k²+3k+5
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(k-2)²-2(k²+3k+5)=-(k²+10k)+6=-(k+5)²+31
最大：31

Answer 3

解：
先求k的取值范围。
方程有实根，判别式△≥0
△=[-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)
=-3k^2-16k-16≥0
3k^2+16k+16≤0
(3k+4)(k+4)≤0
-4≤k≤-4/3

由韦达定理
x1+x2=k-2
x1x2=k^2+3k+5

x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
对称轴k=-5<-4，函数y=-(k+5)^2+19单调递减。当k=-4时，取到最大值。
最大值=-(-4+5)^2+19=18