Question

拉格朗日中值定理证明是什么？

Answer 1

拉格朗日中值定理证明如下：

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

定理内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续。

(2)在(a,b)可导。

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。

做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。

易证明此函数在该区间满足条件：

1.g(a)=g(b)=0。

2.g(x)在[a,b]连续。

3.g(x)在(a,b)可导。

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。