Question

函数y=根号（X+27）+根号（13-X）+根号（X） 的最大值和最小值。详细的解题过程，谢谢了！

Answer 1

对函数求导得：Y’=0.5*(1/√(x+27)-1/√(13-x)+1/√x)，0<x<13
令Y’=0，化解得：√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))=1,0<x<13
设K=√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))，0<x<13
由于分母 x及x+27单调增加，分子13-x单掉减少，故K在0<x<13上单调减少
且x→0,K→∞；x→13,K→0 故K=1时，x有唯一解Xo
当x在（0，Xo）时，K>1，此时，Y'>0，Y单调递增
当x在（Xo,13）时，K<1，此时，Y'<0，Y单调递减
即在x=Xo处，Y有最大值，且x在端点处取得最小值
又因为Y(x=0)=√27+√13,Y(x=13)=√40+√13,显然：Y(x=0)<Y(x=13)
故Y最小值=Y(x=0)=√27+√13
现求最大值：解方程K=1，即√（（13-x）/x）+√((13-x)/(x+27))=1
由于该方程特殊，且仅有唯一解，观察得Xo=9是方程的唯一解
从而得到：Y最大值=11