Question

高一数学题换元法

y=1/(x^2+3),求函数的值域，我们老师说的设x^2+3为t，然后函数就变为y=1/t,然后根据t的取值范围，就可以求出y=1/t的值域，y=1/t的值域就是原函数的值域

我搞不懂得就是为什么用换元法求出了那个反比例函数的值域，就相当于求出了原函数的值域，为什么呀，我觉得不能这样过度呀，请高人指点~~~~~~~~~~

Answer 1

这个题换元来做的确是比较好理解的。

首先我们一般求值域，定义域，都是从已知种类的函数变换而来。

比如说y=x^2这个函数，定义域是负无穷到正无穷，值域是y>=0。这个相当于是我们已知的。

题目中，y=1/(x^2+3),并非为我们所知道的函数类型。那我们就用换元来将它变换成我们熟悉的类型。

设：
t=x^2+3………………（1）
则原函数变成了
y=1/t……………………（2）
这2个函数很明显都是我们所熟知的函数。这样原函数就变成了我们所熟知的2个函数类型，便可以利用这2个函数类型的相关定义域值域的知识求出原函数的值域了。

Answer 2

你把老师的话理解有问题，老师是说换元后，t也就会有个范围，在这个范围下，求出y的范围才是原函数的值域……明白不？ 这里只是利用了代数的等价原则…… 简单的比方：(a+b+c)²-2（a+b+c）+1=0，求a+b+c,我们会先令t=a+b+c，解关于t的一元二次方程，求出的t就是a+b+c……