Question

已知函数f(x)对任何的x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2/3

已知函数f(x)对任何的x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2/3
求证f(x)在R上是减函数
我们还没学奇函数 怎么做

Answer 1

令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),得f(0)=0
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0
故f(-x)=-f(x)
任取X1，X2属于R，且X1>X2
则：
f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)

由于：X1>X2
则：x1-x2>0
又X>0时,F(x)<0
则：f(x1-x2)<0

即：对任意X1，X2属于R
X1>X2时，恒有f(x1)<f(x2)

故F(x)在R上单调递减，为减函数

Answer 2

解：函数f(x)对任何的x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)
令 y=1 则 f(x)+f(1)=f(x+1),
即：f(x)-f(x+1)=2/3
又因为 ：x<x+1
所以：f(x)在R上是减函数。