Question

已知x=1是函数f(x)=mx^3 -3(m+1)x^2 +nx+1的一个极值点,其中m,n属于R,m<0.……

Answer 1

f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n
x=1是函数f(x)的一个极值点
所以：
f'(1)=3m-6(m+1)+n=0
n=3m+6
f(x)=3mx^2-6(m+1)x+3(m+2)
f'(x)/(x-1)=3mx-(m+2)
所以:
f'(x)=3(x-1)(mx-m-2)
所以，除了x1=1的极值点之外，还存在第二个极值点x2=(m+2)/m=1+2/m

f''(x）=6mx-6(m+1)
x=1时，f''(1)=6m-6m-6=-6＜0,凹面向下，所以在x=1处有极大值
x=(m+2)/m时,f''（1+2/m)=6m(m+2)/m-6(m+1)=6m+12-6m-6=6＞0，凹面向上，所以在x=1+2/m处有极小值。

因为m＜0，所以2/m＜0，1+2/m＜1，所以函数可分为（-∞,1+2/m]，（1+2/m、1],(1,+∞）三个区间，

由于x=1+2/m处有极小值，所以在（-∞,1+2/m]区间单调减
x=1处有极大值，所以在（1+2/m、1],区间单调增
在(1,+∞）区间单调减