已知x=1是函数f(x)=mx^3 -3(m+1)x^2 +nx+1的一个极值点,其中m,n属于R,m<0.……

买昭懿007
2010-09-19 · 知道合伙人教育行家
买昭懿007
知道合伙人教育行家
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毕业于山东工业大学机械制造专业 先后从事工模具制作、设备大修、设备安装、生产调度等工作

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f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n
x=1是函数f(x)的一个极值点
所以:
f'(1)=3m-6(m+1)+n=0
n=3m+6
f(x)=3mx^2-6(m+1)x+3(m+2)
f'(x)/(x-1)=3mx-(m+2)
所以:
f'(x)=3(x-1)(mx-m-2)
所以,除了x1=1的极值点之外,还存在第二个极值点x2=(m+2)/m=1+2/m

f''(x)=6mx-6(m+1)
x=1时,f''(1)=6m-6m-6=-6<0,凹面向下,所以在x=1处有极大值
x=(m+2)/m时,f''(1+2/m)=6m(m+2)/m-6(m+1)=6m+12-6m-6=6>0,凹面向上,所以在x=1+2/m处有极小值。

因为m<0,所以2/m<0,1+2/m<1,所以函数可分为(-∞,1+2/m],(1+2/m、1],(1,+∞)三个区间,

由于x=1+2/m处有极小值,所以在(-∞,1+2/m]区间单调减
x=1处有极大值,所以在(1+2/m、1],区间单调增
在(1,+∞)区间单调减
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