Question

拉格朗日乘数法问题

原问题：求 u=x^2+y^2+z^2 在 φ(x,y,z)=(x-y)^2 - z^2 - 1 = 0 条件下的最值点
1. 如果不是实际问题，拉格朗日乘数法算出的L=u+λφ的所有的那些驻点中必有一个是原函数u在那个限定条件φ=0下的最值点吗？
2. 如果不一定的话，是不是还要再对那个限定条件进行限定，直到把边界上的最值点也求出来，把它和拉格朗日乘数法算出的L的所有驻点都代到u中进行比较？
3. 原问题是否其实就是求u=f(x,y,z(x,y))=g(x,y)=2x^2 + 2y^2 - 2xy - 1 在(x-y)^2 - 1 >= 0 上的最值？等号变成不等号，而z就可以去掉了？
4. 要求原问题那个最值的话，是否应该进一步把φ=0这个面区域的边界(x-y)^2=1作为u=g(x,y)的限定条件来算？

Answer 1

1）拉格朗日乘子法在处理完全约束的情况下，如果u在限定条件φ=0下最值存在，是一定可以找到的。
2）－4）
这里有一个关键点你弄错了，原限定曲面φ(x,y,z)= 0是没有边界的，之所以出现了边界，是因为你做了z=z(x,y)后,将原曲面投影到了xy平面所致。请注意φ(x,y,z)= 0是完全约束，这是三维空间中的一个或几个二维曲面，而你投影到x-y平面后得到的边界条件f(x,y)>=0是不完全约束，并不能表示二维平面中的一个或多个一维区域。既然并不存在该曲面的边界，你的问题(2)是没有意义的，问题4)概念错误。至于你的问题3），当你做了投影后，此时产生了一个不完全约束，因此出现了g(x,y)定义域的边界， 此时要求g(x,y)在xy平面中的定义域上的最值问题，需要考虑两部分，一是区域内部的驻点，一是区域边界上的点。你的表述只是从结果上来说是这样而已。
拉格朗日乘子法和直接反解求极值是两种不同的思想；比如有m个变量，n个约束方程(m>n)，实际上定义域是m-n维的,拉格朗日乘子法是引入n个拉格朗日乘子，而把变量空间扩展到m+n维，但是变量在这m+n维空间内取值不受限制。而直接用反解代入，是把定义域从原来m维空间中的一个m-n维曲面投影到一个m-n维平面，但是同时可能附加上最多n个不完全约束限制变量的取值范围（可能没有，比如你原来的问题里把z^2换成z)