Question

数学几何题。

如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC绕点C按顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD。（1）试说明△是等边三角形（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？写出必要的计算过程。

Answer 1

1）如图，∠BOC绕点C按顺时针旋转60°，得△ADC全等于△BOC（边角边定理）；

所以有AC=BC，且∠BCO=∠ACD

因为∠OCD=∠OCA+∠ACD=60°（据题意旋转60°得）

又有∠ACB=∠OCA+∠BCO

         =∠OCA+∠ACD

         =60°

所以△ABC是等边三角形。 

2)∠AOC=360-∠OAD-∠ADC-60(任意四边形内角和为360度)

  由△ADC全等于△BOC得∠ADC=∠BOC

 又有∠AOB+∠BOC+∠AOC=360且∠AOB=150

 代入得：150+∠BOC+360-∠OAD-∠ADC-60=360（∠BOC-∠ADC=0）

        ∠OAD=150-60=90

   所以是直角三角形

3）若OA=OD

   由△ODC是等边三角形得OA=OD=OC

   得△ABO全等于△CBO（三边全等）

   得∠AOB=∠BOC且∠ABO=∠CBO=30

   所以BO为等边三角形的角平分线，

   得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120