Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=90度，点D在BC上，试说明BD^2+CD^2=2AD^2

Answer 1

过A点作AE^BC于E

则在RtΔ ADE中，AD2=DE2+AE2

又∵ΔABC为等腰RtΔ

∴ AE=BE=CE

又 BD2+CD2=(BE－DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

即 BD2+CD2=2AD2

Answer 2

过A作AE⊥BC交BC于E，
设AE=BE=EC=1，DE=x,
AD²=1²+x²，得2AD²=2+2x²(1)
由BD=1-x，BD²=（1-x）²=1-2x+x²，
由CD=1+x，CD=（1+x）²=1+2x+x²，
∴BD²+CD²=2+2x²，（2)
由（1）=（2）
得：BD²+CD²=2AD²。
证毕。