Question

高中数学 证明函数f(x)=x+1/x在（0,1）上是减函数。详解，拜托了。

Answer 1

设 x1 x2 在 （0,1）上 且 x1<x2
则f(x2)-f(x1)
=x2+1/x2-x1-1/x1
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]
因为 x1 x2 在 （0,1）所以 x1x2<1
所以 1-1/(x1x2)>0
又因为 x1<x2
所以上式<0
即 f(x1)>f(x2)
所以 函数f(x)=x+1/x在（0,1）上是减函数

Answer 2

f(x)=(x+1)/x, 设x1,x2 属于（0,1）且x1<x2,
因为f(x1)/f(x2)=(x1x2+x2)/(x1x2+x1)>1
所以f(x)=x+1/x在（0,1）上是减函数

Answer 3

f(x)=x+1/x=1+1/x 在（0,1）上1/x 是双曲线的一部分，X由0到1逐渐增大，1/x的值从正无穷逐渐接近于1，也就是减函数，则1+1/x相当于把1/x沿Y轴上移1，其值在（0,1）从正无穷减到接近于2，所以是减函数。

Answer 4

设x1＞x2,并且属于（0,1），f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1^2x2/x1x2+x2/x1x2-x1x2^2-x1/x1x2=x1^2x2+x2-x1x2^2-x1/x1x2=x1x2(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1x2-1)(x2-x1)/x1x2,由于定义域为（0,1），所以x1x2＞0,(x2-x1)＞0,(x1x2-1)小于0（这里因为x1x2都小于1，所以乘积肯定小于1再减1小于0）所以整个式子都小于0，那么f(x1)-f(x2)小于0，所以函数f(x)=x+1/x在（0,1）上是减函数。