Question

导数f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在负无穷到0上为增函数，（0，2)上是减函数,

f(x)=x^3+3bx^2+cx+d在负无穷到0上为增函数，（0，2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b,求证f(x)=0还有不同于-b的实根x1,x2,且x1,-b,x2成等差数列

Answer 1

解：f(x)=x³+3bx²+cx+d，
f′(x)=3x²+6bx+c，
∵f(x)在（－∞，0 ]上为增函数，在（0，2）上为减函数，
∴f′(0)=0，即c=0，且-2b≥2，即b≤-1
f(x)=x³+3bx²+d，
又f(x)=0的一个根为-b，
∴-b³+3b³+d=0，即d= -2b³，（b≤-1）

f(x)=x³+3bx²-2b³
=x³+b³+3bx²-3b³
=(x+b)(x²-bx+b²)+3b(x+b)(x-b)
=(x+b)[ (x²-bx+b²)+3b(x-b)]
=(x+b)(x²+2bx-2b²)

设g(x)= x²+2bx-2b²，（b≤-1）
△=4b²+8b²=12 b²≥12>0，
∴方程g(x)=0有两个不等实根x1，x2，且x1+x2= -2b
又g(-b)=b²-2b²-2b²=-3b²≥3，g(-b) ≠0，
∴x1，x2与-b不相等，
又x1+x2= -2b，
∴x1，-b，x2成等差数列，
综上，方程f(x)=0还有不同于-b的实根x1，x2，且x1，-b，x2成等差数列.