Question

如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交点E，EF⊥BA的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：（

如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交点E，EF⊥BA的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：（1）BF=CG;（2）AF=½（AB+AC）。

Answer 1

解：
（1）∵ AE是∠BAC的角平分线，且AE是Rt△AFE和Rt△AGE的公共边
∴ △AFE≌△AGE
得：EF=FG
又∵ ED为BC的垂直平分线
∴EB=EC
综上可得：△FEB≌△GEC
所以： BF=GC
（2）∵ AB=AF-BF,AC=AG+GC,
∴ AB+AC=AF-BF+AG+GC=AF+AG
上题已证△AFE≌△AGE 即可知AF=AG
所以：AB+AC=2AF
即：AF=1/2（AB+AC）

Answer 2

（1）E在BC平分线上，有CE=BE；
E在∠BAC的平分线上，且G、F为垂足，有EG=EF；
得Rt△CEG=Rt△FEB，得BF=CG；
（2）E在∠BAC的平分线上，且G、F为垂足，有AG=AF；
AC=AG+CG，AB=AF-BF，得AC+AB=AG+CG+AF-BF=2AF；
得证。