Question

如果函数y=(x)是R上的函数,证明k>0时,kf(0)在R上也是增函数。 要详细过程。有追加。

Answer 1

原题应该为“如果函数y=f(x)是R上的增函数,证明k>0时,kf(x)在R上也是增函数。”

令x1、x2均为实数，且x1>x2，则由y=f(x)是R上的增函数，有
f(x1)-f(x2)〉0成立。
则当k>0时，
kf(x1)-kf(x2)=k[f(x1)-f(x2)]>0
则kf(x)在R上是增函数.

Answer 2

...这个用定义证明的话，打出来会比较难看，兰州将就下吧：

一下的极限都是指△x→0

lim [kf（x+△x）-kf（x）]/△x
=k lim [f（x+△x）-f（x）]/△x

而因为y=(x)是R上的函数，所以 lim [f（x+△x）-f（x）]/△x >0 在R上恒成立（定义）。

所以原式>0在R上恒成立。为增函数。

Answer 3

证：设x1,x2为R上的任意两个数,不妨设x1<x2
函数y=(x)是R上的增函数，所以f(x1)<f(x2)
因为k>0时,kf(x1)<kf(x2),
即kf(x)在R上为增函数

本题要理解增函数的概念。