Question

4．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）

4．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

Answer 1

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．………………1分

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD． ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG． ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF‖CD‖AB．………………………5分

∴ ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴ ．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG= MC．

∴ ．………………………………8分

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

Answer 2

（1）易证GC=DF/2=GE [直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]∠CGE=2∠GDC+2∠GDE=2∠EDC=90°（2）连结GA，易证GA=GC，过G作GHAB于H，易证AH=EH，GA=GE [等腰三角形三线合一定理逆定理]，下略 （3）略证： 取BF中点M，连结MG，连结正方形对角线，设交点为O，连结GO， 易知GM//BD，GM=BO，四边形MBOG为平行四边形，GO=MB=EM， MG=OC，∠EMG=90°+∠FMG=90°+∠GOD=∠GOC， ∴△GME≌△COG，∴GE=GC，还可证GE⊥GC（略）

Answer 3

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．………………1分

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD． ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG． ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF‖CD‖AB．………………………5分

∴ ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴ ．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG= MC．

∴ ．………………………………8分

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分