Question

已知三角形ABC，三边长abc满足a+c<=2b,b+c<=2a,b/a取值范围

Answer 1

解：设a=y+z,b=x+z,c=x+y(x,y,z>0)
=>x+z+2y<=2(x+z) 2x+y+z<=2(y+z)
=>y<=(x+z)/2 y>=2x-z
当x>z/2时 （x+z)/2>=2x-z =>x<=z,(x+z)/2>=y>=2x-z
当0<x<=z/2时，(x+z)/2>y>0
b/a=(x+z)/(y+z)>=(x+z)/((x+z)/2+z) =(2x+2z)/(x+3z)=2-4z/(x+3z)=2-4/((x/z)+3)
显然，x<=z=>0<x/z<=1
=>b/a>2-4/3=2/3

当0<x/z<=1/2时，(x+z)/2>y>0,b/a=(x+z)/(y+z)<=(x+z)/z=1+x/z<=1+1/2=3/2
当1/2<x/z<=1时 （x+z)/2>y>2x-z,b/a=(x+z)/(y+z)<=(x+z)/(2x)
=1/2+z/(2x)<3/2

故b/a范围为（2/3,3/2)

几何方法：
x+z>=2y =>x/z+1>=2y/z
y+z>=2x =>y/z+1>=2x/z
令x/z=m,y/z=n
=>m+1>=2n
n+1>=2m
m>0
n>0
b/a=(x+z)/(y+z)=(x/z+1)/(y/z+1)=(m+1)/(n+1)
我们考虑一个m,n坐标系，则条件表示一个区域,而b/a表示(m,n)（-1，-1）之间斜率，画图很容易可以得知两个极限为（1/2,0)(-1,-1)之间斜率以及
（0，1/2）(-1,-1)之间斜率，计算结果与上面相同
希望能帮到你