Question

设m、n为实数,p为正实数,且m^2+n^2-p^2=0,求(m+n)/p的最大值。

需要两种解法，在线等。在23:40之前出答案

Answer 1

此题可以利用换元法做
由m^2+n^2-p^2=0得
m^2+n^2=p^2
故可以把m,n,p看成直角三角形的三边
其中m，n为两条直角边，p为斜边
所以可以令m/p=sina,n/p=cosa
则（m+n)/p=sina+cosa=根号2*sin（a+π/4）
所以当a=π/4时，有最大值为根号2
即（m+n)/p最大值为根号2

Answer 2

方法一：
由m^2+n^2-p^2=0,可令m=p*cosx,n=p*sinx，则
(m+n)/p=cosx+sinx=根号2*sin(x+45)<=根号2
方法二：
0=m^2+n^2-p^2=1/2*(m^2+n^2)+1/2*(m^2+n^2)-p^2>=mn+1/2*(m^2+n^2)-p^2=1/2*(m+n)^2-p^2
则1/2*(m+n)^2-p^2<=0
则(m+n)/p<=根号2

Answer 3

由题意知m，n大于零(m+n)/p才有最大
由(m-n)²≥0，得2mn≤m²+n²，由m^2+n^2-p^2=0 所以p^2=m^2+n^2

（m+n）²/p²=（m²+n²+2mn）/（m²+n²）≤（m²+n²+m²+n²）/（m²+n²）=2
所以(m+n)/p的最大值为根号2

Answer 4

①m²+n²=p²≥(m+n)²/2
(m+n)²/p²≤2
(m+n)/p≤√2
当且仅当m=n，等号成立
②(m/p)²+(n/p)²-1=0
设s=m/p,t=n/p
则s²+t²=1
令u=(m+n)/p=s+t t=u-s代入上式
s²+(u-s)²-1=0
2s²-2us+u²-1=0
根的判别式Δ=4u²-8(u²-1)≥0
8-4u²≥0
-√2≤u≤√2
当且仅当Δ=0，即方程有两个相同的根时(m/p=n/p)，等号成立