Question

关于函数极值方面的几个问题，要求写出详细过程.谢谢....

1.若函数y=f(x)在R上是计数函数且函数可导，且f`(x)>1恒成立，常数a>0,则：
A.f(a)>a B.f(a)<a C.f(a)≥a D.f(a)≤a

2.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10.则a,b值为：
A.a=3.b=-3或a=-4.b=11
B.a=-4.b=1或a=*4.b=11
Ca=-1.b=5
以上说法都不对

3.设立a∈R,若函数u=e(ax次方)+3x.x∈R有大于零的极值点.则：
A.a＜-? B.a＞-? C.a＜-3 D.a＞-3

4.设f(x)可导，且f`(0)=0,又 [ Lim（x→0） f`(x)/x ]=-1,则f(x)：
A.可能不是f(x)的极值
B.一定是f(x)的极大值
C.一定是f(x)的极小值
D.等于0

5.已知函数f(x)=ax3+bx2+c其导数f`(x)的图像如右图所示，则函数f(x)的极小值为多少？

Answer 1

1.若函数y=f(x)在R上是计数函数且函数可导，且f`(x)>1恒成立，常数a>0,则：
A.f(a)>a B.f(a)<a C.f(a)≥a D.f(a)≤a
解：计数函数的基本定义是f(0)=0,x>0
将不等式f`(x)>1 两边同时对x作积分可得f(x)>x
可得答案为A.f(a)>a

2.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10.则a,b值为：
A.a=3.b=-3或a=-4.b=11
B.a=-4.b=1或a=*4.b=11
Ca=-1.b=5
以上说法都不对

解：f'(x)=3x^2-2ax-b=0,
把x＝1分别代入f'(x)与f(x)并解方程
f'(1)=3-2a-b=0,b=3-2a.
f(1)=1-a-b+a^2=10.
a^2+a-12=0,a1=3,a2=-4.
b1=-3,b2=11.选A.

3.设立a∈R,若函数u=e(ax次方)+3x.x∈R有大于零的极值点.则：
A.a＜-? B.a＞-? C.a＜-3 D.a＞-3

解：u'=ae^(ax)+3=0
e^(ax)=-3/a ,(a<0)
ax=ln(-3/a) ,(a<0)
x=1/a *ln(-3/a) ,(a<0)

又由x>0得 1/a *ln(-3/a)>0 ,(a<0)
ln(-3/a)<0 ,(a<0)
0<-3/a<e ,(a<0)
解不等式得由0<-3/a得a<0 ,(a<0)
由-3/a<e 得a<-3/e ,(a<0)
故最终答案是a<-3/e

4.设f(x)可导，且f`(0)=0,又 [ Lim（x→0） f`(x)/x ]=-1,则f(x)：
A.可能不是f(x)的极值
B.一定是f(x)的极大值
C.一定是f(x)的极小值
D.等于0
解: 题目应该问f（0)吧，一点小错误
Lim（x→0） f`(x)/x =-1
Lim（x→0） (f`(x)-f'(0))/(x-0) =-1
f“（0）＝-1
故是极大值

5.已知函数f(x)=ax3+bx2+c其导数f`(x)的图像如右图所示，则函数f(x)的极小值为多少？
解：由图知f(x)的两个极点是x＝0，x＝2
当x<0时，f'(x)<0，故此时f(x)单调下降
当0<x<2时，f'(x)>0，故此时f(x)单调上升
当x>2时，f'(x)<0，故此时f(x)单调下降
故函数的极小值是由单调下降转为单调上升时，即x＝0时
函数f(x)的极小值＝f(0)=c

Answer 2

1.若函数y=f(x)在R上是计数?函数且函数可导，且f`(x)>1恒成立，常数a>0,则：
A.f(a)>a B.f(a)<a C.f(a)≥a D.f(a)≤a

2.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10.则a,b值为：
A.a=3.b=-3或a=-4.b=11
B.a=-4.b=1或a=*4.b=11
C.a=-1.b=5
D.以上说法都不对
解：f'(x)=3x^2-2ax-b=0,
f'(1)=3-2a-b=0,b=3-2a.
f(1)=1-a-b+a^2=10.
a^2+a-12=0,a1=3,a2=-4.
b1=-3,b2=11.选A.

3.设立a∈R,若函数u=e(ax次方)+3x.x∈R有大于零的极值点.则：
A.a＜-? B.a＞-? C.a＜-3 D.a＞-3
解：u'=ae^(ax)+3=0,e^(ax)=-3/a(a<0),
x>0,e^(ax)<1,∴a<-3.选C.

4.设f(x)可导，且f`(0)=0,又
[ Lim（x→0） f`(x)/x ]=-1,则f(x)：
A.可能不是f(x)的极值
B.一定是f(x)的极大值
C.一定是f(x)的极小值
D.等于0
解：[ Lim（x→0） f`(x)/x ]=f"(0)=-1,
选B.

5.已知函数f(x)=ax3+bx2+c其导数f`(x)的图像如右图所示，则函数f(x)的极小值为多少？
解：f'(x)=3ax^2+2bx=3ax(x-2),
∴b=-3a(a<0).
0<x<2时f'(x)>0,f(x)↑；
x<0,或x>2时f(x)↓。
∴f(x)的极小值=f(0)=c.