Question

高一函数图像问题

已知定义在R上的函数y=f(x)的图像既关于点A（a,b）对称，又关于直线x=c（a,b,c属于R，a≠c）对称，则f（x）必为周期函数，f（x）的一个周期为 ？ 请解答一下

Answer 1

可以类比正弦曲线考虑，它的对称中心和最近的对称轴的距离是1/4个周期。
所以猜测函数f（x）的一个周期为为4(a-c).
图像既关于点A（a,b）对称，则有f(x)+f(2a-x)=2b. 即f(2a-x)=2b-f(x)
图像关于直线x=c,则有f(c+x)=f(c-x).即f(x)=f(2c-x).
f[x+4(a-c)]=f[2a-(-2a+4c-x)]=2b- f(-2a+4c-x)
=2b-f[2c-(2a-2c+x)]=2b- f(2a-2c+x)
=2b-f[2a-(2c-x)]=2b-[2b-f(2c-x)]
= f(2c-x)=f(x).
所以函数f(x)图像的一个周期为4(a-c).