Question

若对任意实数x>0都有x+1/(x+a)>a,则a的取值范围是区间什么,请列明详细过程吧

Answer 1

若对任意实数x>0都有x+1/(x+a)>a,则a的取值范围是区间什么
令x+1/(x+a)-a>0==>x^2-a^2+1>0
只要a^2-1<0==>-1<a<1
令f(x)= x+1/(x+a)-a，其定义域为x≠-a
F’(x)=1-1/(x+a)^2=0==>x1=-1-a, x2=1-a
F’’(x)=2/(x+a)^3, F’’(x1)<0, F’’(x2)>0
∴f(x)在x1得取极大值-2-2a，在x2得取极小值2-2a
又x>0
∵当a∈(-1,0)时，x取(0,|a|)时，x+1/(x+a)<a
∴a∈[0,1)

Answer 2

x+1/(x+a)＞a
(x-a)+1/(x+a)＞0
(x^2-a^2+1)(x+a)＞0
这时可分两种情况判断（分子分母同时大于零，或同时小于零）：

（1）x^2-a^2+1＞0且x+a＞0
a^2＜根号(x^2+1)且a＞-x
因为x＞0,
所以a^2≤1且a≥0，故得到：
0≤a≤1

（2）x^2-a^2+1＜0且x+a＜0
a^2＞根号(x^2+1)且a＜-x
因为x＞0,所以a^2＞1且a＜-∞
故无解。

综上：a的取值范围为[0,1]

Answer 3

x+1/(x+a)-a>0 (x^2-a^2+1 )/(x+a)>0等价于（a^2-1-x^2）(a+x)<0恒成立 （a^2-1-x^2）(a+x)=0三根为正负根号（1+x^2）,-x,x>0,所以不等式的解为-x<a<根号(1+x^2)或a<-根号(1+x^2)此均为恒等式，a<-根号(1+x^2)因不等式右边无最小值，因此无解，所以0<a<1