Question

高中数学，急求

函数f(x)对于任何实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-3,且当x>0时，f(x
)<3.
问（1） f(x)在实数集R上是否为单调函数，说明理由
（2）已知f(6)= -9 ,求f[(1/2)^2010].

Answer 1

（1）设y>0

因为函数f(x)对于任何实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-3

所以f(x+y)-f(x)=f(y)-3

因为且当x>0时，f(x)<3

所以f(y)-3<0

所以f(x+y)<f(x)

因为x+y>x

所以函数f(x)是R上的单调递减函数

（2）因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3，f(6)=-9

所以f(6)=2f(3)-3,所以f(3)=-3.因为f(3)=f(1)+f(2)-3=f(1)+f(1)+f(1)-6=3f(1)-6,所以f(1)=1

y取x，则f(2x)=2f(x)-3,所以f(x)=f(2x)/2+3/2 （1）

连用(1)式，则f[(1/2)^2010]=(1/2)^2010*f(1)+3/2*2010=3015+(1/2)^2010

Answer 2

（1）f(x)在实数R上单调减，理由如下：
设x>0,则x+y>y
∵f(x)对于任何实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-3
∴f(x+y)-f(y)=f(x)-3
又∵当x>0时，f(x)<3
∴f(x+y)-f(y)=f(x)-3<3-3=0
即当x+y>y时，f(x+y)<f(y)，因此f(x)在实数R上单调减．
（2）f(6)=2f(3)-3=-9 f(3)=-3
f(3)=f(1)+f(2)-3=f(1)+2f(1)-6=-3 f(1)=1
∵f(1)=2f(1/2)-3
f(1)=2(2f(1/4)-3)-3=2^2f[(1/2)^2]-2×3-3
f(1)=2^2{2f[(1/2)^3]-3}-2×3-3=2^3f[(1/2)^3]-2^2×3-2×3-3
……
f(1)=2^2010f[(1/2)^2010]-2^2009×3-……-2×3-3
∴1=2^2010f[(1/2)^2010]-(2^2010-1)×3
∴2^2010f[(1/2)^2010]=3×2^2010-2
∴f[(1/2)^2010]=3-1/(2^2009)

Answer 3

（1）设y>0 则x+y>x f(x+y)-f(x)=f(y)-3,且当y>0时，f(y)<3.

f(x+y)-f(x)<0 f(x)在实数集R上是减函数。

（2）f(6)= -9 ,f(3)= -3 ,f(3/2)= 0 ,

令x=1,y=1/2 f(1)+f(1/2)-3=0

令x=1/2,y=1/2 f(1)=2f(1/2)-3

f(1)=1, f(1/2)=2, f(1/4)=5/2, f(1/8)=11/4, f(1/16)=23/8,

f[(1/2)^2010]=3-1/2^2009