Question

高中数学，急求

已知F1，F2是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，弦AB经过F2且｜AF2 ｜＝2｜F2B ｜,tan∠AF1B＝¾.
问 （1）求椭圆的离心率e
（2）若⊿F1F2B的面积为2，求椭圆方程

Answer 1

（1）设|F2B|=m,则|F2A|=2m,|F1A|=2a-2m,|F1B|=2a-m,
∵tan∠AF1B=1/3,∴cos∠AF1B = 4/5
在△F1AB中应用余弦定理，有
cos∠AF1B = (|AF1|²+|F1B|²-|AB|²)/(2·|AF1|·|F1B|)
4/5 = [(2a-2m)²+(2a-m)²-(3m)²]/[2·(2a-2m)·(2a-m)]
整理，解得m = 1/3 ·a
于是 |AF1| = 4/3 ·a, |AF2| = 2/3·a,|BF1| = 5/3·a,|BF2|=1/3 ·a
这样，就有|AB|= 3/3 ·a,|AF1| = 4/3 ·a ,|BF1| = 5/3·a
所以△ABF1为直角三角形，∠F1AB为直角。
在Rt△F1AF2中，用勾股定理，|F1F2|=√|AF1|²+|AF2|²=2√5/3 ·a
于是2c = 2√5/3 ·a , c = √5/3 ·a，也即 e = c/a = √5/3.

（2）△F1BF2的面积为
1/2·sin∠F1BF2·|BF1|·|BF2|
= 1/2·4/5·(5/3·a)·(1/3·a)
= 2/9·a²
= 2
因此a = 3,于是c = √5/3 ·a = √5，b² = a²-c² = 9- 5 = 4,
于是椭圆方程是x²/9 + y²/4 = 1.