Question

这道数学题怎么解（平面几何）

Answer 1

过I作ID垂直BC于D，则∠IQP=∠IPD，只要证明∠AQE=∠DQE即可。（本题结论进一步有DQ、CE、BF、AP四线共点）
延长EF与BC交于K，则B，P，C，K构成调和点列，于是直线BQ、CQ关于IQ对称。延长BQ、CQ交AC、AB于S、R。
因此只要证明∠BQD=∠AQR或∠AQS=∠DQC（亦即AQ、PQ关于IQ对称）将内切圆圆I作出，发现本图左右对称，上下不对称，但是上下有等量要证明，于是考虑推广到圆外切四边形。
即新命题：在圆外切四边形ABDC内切于圆I，Q为形内一点，满足BQ、CQ关于IQ对称，求证：AQ、DQ关于IQ对称。
以I为反演中心，内切圆为反演半径作反演变换。从而由BQ、CQ关于IQ对称知圆B'Q'I和圆C'Q'I为等圆。只要证明圆A'Q'I和圆D'Q'I为等圆。我们记圆I在AB、BD、DC、CA上切点为M、N、L、T
从而由正弦定理，命题转化为：已知圆I上顺次四点M，N，L，T，圆外一点Q'，MT、MN、NL、NT中点为A'，B'，D'，C'，已知Q'A'与A'I的夹角和Q'D'与D'I的夹角相等，求证：Q'B'与B'I的夹角和Q'C'与C'I的夹角相等。
这其实是熟知的，注意到A'B'D'C'为平行四边形，而且∠IA'B'=∠ID'B'，（类似的有多组），
将三角形Q'C'D'延D'B'方向平移，得到三角形XA'B'，由∠XQ'A'=∠Q'A'C'=∠Q'D'C'=∠XB'A'可知X，A'，B'，Q'四点共圆。进而可知Q'B'与B'I的夹角和Q'C'与C'I的夹角相等。原命题证毕。