Question

急！谁可以帮我解答华师大版的数学分析里第279页的第三题，求瑕积分的收敛性！答案满意的话我会追加50分

最重要的是（5）、（6）、（7）、（8），题目请点击图片，在这里我先谢了！

Answer 1

（5）因为x=1为瑕点，而
lim（1-x)[arctanx/(1-x^3)]=pi/12(其中x→1-）
即p=1,λ=pi/12,所以此瑕积分发散
（6）因为x=0为瑕点，而
limx^(m-2)[(1-cosx)/x^m]=lim(1-cosx)/x^2=1/2
即λ=1/2
故当m<3时，此瑕积分收敛，m≥3时发散
（7）因为x=0为瑕点，而
|f(x)|=||≤1/x^α
故当0<α<1时绝对收敛
1≤α<2时条件收敛
α≥2时发散
（8）首先将积分区域分为两部分（0,+∞)=[0,e]∪(e,+∞)
∫exp(-x)lnxdx在（0,e]上的瑕点为x=0，因为
limx^(1/2)exp(-x)lnx=0所以∫exp(-x)lnxdx在（0,e]上收敛
无穷积分∫exp(-x)lnxdx在(e,+∞)上也收敛
因为limx^2lnx/exp(x)=0(其中x→+∞)
所以此瑕积分收敛