Question

已知f(x)为二次函数,且f(2x+1)+f(2x-1)=16x^2-4x+6(两种方法以上，可不可以啊）

求f（x）

Answer 1

一种方法：
因为是二次函数，所以设f（x）=ax²+bx+c
∴f（2x+1）=a(2x+1)²+b（2x+1）+c=4ax²+（2b+4a）x+a+b+c
f（2x-1）=a（2x-1）²+b（2x-1）+c=4ax²+（2b-4a）x+a-b+c
∴f（2x+1）+f（2x-1）=8ax²+4bx+2a²+2c；
又已知f（2x+1）+f（2x-1）=16x²-4x+6；
∴8ax²+4bx+2a²+2c=16x²-4x+6对于任意x都成立；
∴对照左右两边的系数有：
8a=16；
4b=-4；
2a+2c=6；
∴a=2，b=-1，c=1；
∴f（x）=ax²+bx+c=2x²-x+1

方法二：
令x=0有：f（1）+f（-1）=6；
令x=-1/2有：f（0）+f（-2）=4+2+6=12；
令x=1有：f（2）+f（0）=4-2+6=8；
因为f（x）为二次方程，∴设f（x）=ax²+bx+c
∴f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，f（-2）=4a-2b+c
f(2)=4a+2b+c;f(0)=c带入上面的有：
（a+b+c）+（a-b+c）=6；
c+(4a-2b+c)=12;
(4a+2b+c)+c=8;
解之：a=2，b=-1，c=1；
∴f（x）=2x²-x+1

Answer 2

(1)令f（x）=ax^2+bx+c

f(2x+1)+f(2x-1)=a(2x+1)^2+b(2x+1)+c+[a(2x-1)^2+b(2x-1)+c]

=8ax^2+4bx+2c

=16x^2-4x+6

a=2 b=-1 c=3

f（x）=2x^2-x+3