Question

已知y=f(x)的图像与y=a^x(a大于0且a不等于0）的图像关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]。若g(x)在

已知y=f(x)的图像与y=a^x(a大于0且a不等于0）的图像关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]。若g(x)在区间【0.5，2】上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

y=f(x)的图像与y=a^x(a大于0且a不等于0）的图像关于直线y=x对称，
则f(x)=logaX
则g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]
=logaX（logaX+loga2-1）
则分为以下情形：
当1/2>=a>0时，loga（a/2）^(1/2)>loga(1/2)>loga2,则g(x)在区间[0.5，2]是增函数；
当1>a>1/2时，loga（a/2）^(1/2)<loga(1/2)<loga2,则g(x)在区间[0.5，2]是减函数；
当8>a>1时，loga(1/2)<loga（a/2）^(1/2)<loga2,则g(x)在区间[0.5，2]是非单调函数；
当a>=8时，loga（a/2）^(1/2)>loga2>loga(1/2)，则则g(x)在区间[0.5，2]是增函数。
因此，1/2>=a>0或者a>=8。

Answer 2

解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（logax）2+（loga2-1）logax．
当a＞1时，若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为增函数，

令t=logax，t∈[loga1/2 ，loga2]，要求对称轴(-loga2-1)/2 ≤loga1/2 ，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[1/2 ，2]上是增函数，y=logax为减函数，令t=logax，t∈[loga1/2 ，loga2]，要求对称轴(-loga2-1)/2 ≥loga1/2 ，
解得a≤1/2,所以实数a的取值范围是(0，1/2]故选D．