Question

一道高数极限题？

Answer 1

提供一个比较直接一点的解法，利用关于e的重要极限。

供参考，请笑纳。

Answer 2

x->+无穷
ln(1-1/x) = -1/x +o(1/x)
ln(1-2/x) = -2/x +o(1/x)
...
ln[(1-n/x)] = -n/x +o(1/x)
ln[(1-1/x)]+ln[(1-2/x)]..+ln[(1-n/x)]
=-[n(n+1)/2](1/x) +o(1/x)
-2x.{ ln[(1-1/x)]+ln[(1-2/x)]..+ln[(1-n/x)] }
=n(n+1) +o(1/x^0)
//
lim(x->+无穷) [x^n/(x-1)(x-2)..(x-n) ]^(2x)

=lim(x->+无穷) e^【2x.ln[x^n/(x-1)(x-2)..(x-n) ]】
=lim(x->+无穷) e^【2x.ln{ 1/[ (1-1/x)(1-2/x)..(1-n/x)] }】
=lim(x->+无穷) e^【-2x.ln[(1-1/x)(1-2/x)..(1-n/x) ]】
=lim(x->+无穷) e^【-2x.{ ln[(1-1/x)]+ln[(1-2/x)]..+ln[(1-n/x)] }】
=lim(x->+无穷) e^【n(n+1) +o(1/x^0)】
=e^[n(n+1) ]

Answer 3

lim<x→+∞>{x^n/[(x-1)(x-2)...(x-n)]}^(2x)
= lim<x→+∞>{[x/(x-1)] [x/(x-2)] ...... [x/(x-n)]}^(2x)
= lim<x→+∞>[1+1/(x-1)]^(2x) [1+2/(x-2)]^(2x) ...... [1+n/(x-n)]^(2x)
= lim<x→+∞>{[1+1/(x-1)]^(x-1)}[2x/(x-1)])
· {[1+2/(x-2)]^(x-2)/2}^[2^2x/(x-2)] ......
· [1+n/(x-n)]^(x-n)/n}^[2^nx/(x-n)]
= e^2 · e^(2^2) · ...... · e^(2^n) = e^(2+2^2+......+2^n)
= e^[2(2^n-1)/(2-1)] = e^[2^(n+1)-2]

Answer 4

分享解法如下。原式=lim(x→∞)[(1-1/x)*(1-2/x)*…*(1-n/x)]^(-2x)。
又，x→∞、1≤k≤n时，k/x→0，∴1-k/x=e^[ln(1-k/x)]~e^(-k/x)。
∴k=1,2，……，n时，(1-1/x)*(1-2/x)*…*(1-n/x)~e^(-∑k/x)=e^[-n(n+1)/(2x)]。
∴原式=lim(x→∞){e^[-n(n+1)/(2x)]}^(-2x)=e^[n(n+1)]。

Answer 5

遇事要冷静要积极寻找解决的办法，尽力有现在的基础上不就说不定会有意外的惊喜。