Question

高中数学题。 超难。

已知f（x)=ax+b/1+x^2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1/2)=2/5.
(1.) 用定义证明f（x）在定义域上是增函数。
（2.）解不等式f （t-1）+f（t）＜0
感觉一楼的不对， 但是，我总共弄了两题， 你怎么知道我本来是三题的？

Answer 1

f(x)=(ax+b)/(1+x^2),根据奇偶性可得b=0,由后面的条件得a=1.
所以根据定义证明f(x)=x/(1+x^2)在定义域内为增函数。
设-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)=[ (x1-x2) (1-x1x2) ] / [ (1+x1^2) (1+x2^2) ]
因为-1<x1<x2<1,所以1+x1^2>0,1+x2^2>0,所以-1<x1x2<1,所以1-x1x2>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0.所以f(x)在定义域内为增函数。

-1<t-1<1,-1<t<1，得0<t<1
f(t-1)+f(t)=(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0，通分知分子大于0，则分子小于0，即：-3t^2+3t-1<0,3t^2-3t+1>0,又因为deta<0,所以t取全体定义域内的数。即0<t<1
得0<t<1。

是化简错了，是相加不是相减。呵呵。我再算一下呀。
f(t-1)+f(t)=(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0
分子小于0，即：2t^3-3t^2+3t-1<0
2t^3-2t^2+2t-t^2+t-1<0
2t(t^2-t+1)-(t^2-t+1)<0
(t^2-t+1)(2t-1)<0,
因为t^2-t+1>0恒成立，所以2t-1<0,t<1/2,
又定义域为0<t<1,
所以0<t<1/2

用的是linux系统，所以聊天不方便，输入法也不方便。

Answer 2

解：
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数，
所以：f(0)=b=0，即：f(x)=ax/(1+x^2)。
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以，所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2)。

2、设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。

3、解不等式f(t-1)+f(t)＜0
解法一：因为：f(x)=x/(1+x^2)。
所以不等式变为：
(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)＜0
[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]＜0
因为分母＞0，
所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)＜0
即：2t^3-3t^2+3t-1＜0
t^3+(t-1)^3＜0
t^3-(1-t)^3＜0
因为t-1,t∈(-1,1)，所以t∈(0,1)。
所以上述不等式变为
t^3＜(1-t)^3
t＜1-t
2t＜1
t＜1/2
前面我们有t∈(0,1)，
所以，不等式的解为：
0＜t＜1/2

解法二：因为f(x)是奇函数，即：f(-x)=-f(x)
所以不等式变为f(t-1)＜f(-t)
又因为：f(x)=x/(1+x^2)
所以：(t-1)/(1+(t-1)^2)＜-t/(1+t^2)
(t-1)(t^2+1)＜-t((t-1)^2+1)
t^3-t^2+t-1＜-t^3+2t^2-2t
t^3＜-(t^3-3t^2-3t-1)
t^3＜-(t-1)^3
t＜-(t-1)
所以：t＜1/2。
又因为：对于f(x)，有x∈(-1,1)。
所以：t-1,t∈(-1,1)，即：t∈(0,1)。
所以，不等式的解为：0＜t＜1/2。

Answer 3

估计是粘贴复制