Question

多元函数的运用

求表面积为s，而体积最大的长方体的长，宽，高·····只能用两个未知数···各位帮帮忙··我怎么算都算不出来····
急啊··各位··· 必须用到偏导数和二阶偏导数的方法···

Answer 1

不知道你学了不等式没有,下面用的是高中的不等式关系来解

设立方体的长为a,宽为b,则高c=(s-2ab)/(2a+2b)(下面为了好看,还是用c来计算,不过你也可以将c=(s-2ab)/(2a+2b)代入式中)
长方体的面积S=2ab+2ac+2bc，体积V=abc

根据n个正数的均值不等式(a1+a2+a3+...+an)/n >= (a1*a2*a3*...*an)的n次方根
长方体面积S=2ab+2ac+2bc>=3*{[(2ab)*(2ac)*(2bc)]的立方根}=6*(V^2的立方根) ==> V<=(S/6)*[根号下(S/6)],当且仅当a=b=c或当且仅当a=b=(s-2ab)/(2a+2b)时V=(S/6)*[根号下(S/6)]

关于n个正数的均值不等式请看教材

Answer 2

设长和宽为x，y
则高为 (s-2xy)/(2x+2y) 侧面积等于底面周长乘以高

体积V=xy(s-2xy)/(2x+2y)
V^2=xy*x(s-2xy)/(2x+2y)*y(s-2xy)/(2x+2y)
≤{[xy+x(s-2xy)/(2x+2y)+y(s-2xy)/(2x+2y)]/3}^3
=(s/6)^3
取等条件：xy=x(s-2xy)/(2x+2y)=y(s-2xy)/(2x+2y)
即x=y=√(s/6),高也是√(s/6)

Answer 3

设长宽高分别是x,y,z.则2xy+2xz+2yz=s
z(x+y)+xy=s/2,z=(s/2-xy)/(x+y)

则V=xyz=xy(s/2-xy)/(x+y)

可以用不等式去试一下求最大值。

Answer 4

正方体就是，球大于正方体大于长方体。