Question

高中数学题， 超难的。。。

已知函数f(x)，当x，y属于R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）。
1.求证：f（x）为奇函数。
2.如果x属于R时，f（x）＜0，且f（1)= -1/2,试求f（x）在【-2，6】上的最大值和最小值。

Answer 1

1、证明：因为f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0.
对任意x属于R,f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(x)=-f(-x)。又f(x)定义域为R，所以f(x)为奇函数
2、这一问可能是你打错了，如果按你给的是做不出来的,因为f(x)是R上的奇函数，不可能恒小于0。下面的解答是将条件中的f(x)<0改为f'(x)<0给出的。
解：在[-2,6]上，由于f'(x)<0，最大值为f(-2),最小值为f(6)。
f(2)=f(1)+f(1)=-1,所以f(-2)=1(奇函数的性质）。
f(4)=f(2)+f(2)=-2,f(6)=f(4)+f(2)=-3。
所以在[-2,6]上，最大值为1,最小值为-3

Answer 2

1、证明：
因为f（x+y）=f（x）+f（y）
所以f（0+0）=f（0）+f（0）
既f(0)=0
因为f（x+y）=f（x）+f（y）
所以f（x-x）=f（x）+f（-x）
所以f(x)=-f(-x)
所以f（x）为奇函数
2、

Answer 3

2里是f'(x)<0吧。

1 f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以是奇函数
2 f'(x)<0,f(x)递减。f(-2)取最大值,f(6)取最小值。
f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1
f(6)=6f(1)=6*(-1/2)=-3

最小值-3,最大值1

Answer 4

1. 当x=y=0时,f（0）=f（0）+f（0)==>f(0)=0
当y=-x时,有f(x+(-x))=f(0)=f(x)+f(-x)=0 ==>f(-x)=-f(x),所以为奇函数

2.

Answer 5

1。证明：
f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)
所以f(0)=0
f(0)=f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数

2。f(x)<0，且f(1)=-1/2
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=-f(1)-f(1)=1/2+1/2=1
f(6)=6*f(1)=6*(-1/2)=-3
因为f(x)是奇函数，又知f(x)<0，所以f(x)在R上单调递减
所以f(x)在[-2,6]上的最大值是1，最小值是-3

Answer 6

解:(1),
设x=y=0,
所以 f(0)=2f(0),
所以 f(0)=0,
又设 y=-x,
所以 有，f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即 f（x）=-f（-x），
所以 f（x）为奇函数