Question

如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF。

如题，图如下，我要过程啊。

Answer 1

莪给②种方法给伱，伱自己挑吧。

①证：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF

②证：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠BAD=∠CAD
∠AED=∠AFD
AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴∠EDO=∠FDO，ED=FD
在△EDO=△FOD中
DO=OD
∠EDO=∠FDO
ED=FD
∴△EDO≌△FOD（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=∠2=90°
∴∠3=∠4=90°
即AD⊥EF

好啦，终於打完了，呼呼~~~
伱自己选吧，我保证200%全对。
不信就算了哦~~~

Answer 2

已知AD是∠BAC的平分线
∴∠DAE＝∠DAF
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
∴∠ADE＝∠ADF (等角的余角相等)
在△ADE和△ADF中，
∠DAE＝∠DAF (已证)
AD＝AD (公共)
∠ADE＝∠ADF (已证)
∴△ADE≌△ADF (ASA)
∴AE＝AF

设AD与EF的交点为P，则
在△AOE和△AOF中，
AE＝AF (已证)
∠OAE＝∠OAF (已证)
A0＝A0 (公共)
∴△AOE≌△AOF (ASA)
∴∠AOE＝∠AOF
又E，O，F三点共线，即∠AOE＋∠AOF＝180°
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，即AO⊥EF
∴AD⊥EF