Question

数列{An}满足A1=1,An+1=An/2An+1 数列Bn的前n项和为Sn=12-12(2/3)n

数列{An}满足A1=1,An+1=An/2An+1 数列Bn的前n项和为Sn=12-12(2/3)^n
求 {An} {Bn} 通项公式
Cn=Bn/An 是否存在m属于自然数 使得Cm大于等于9

Answer 1

取倒数得： 1/a(n+1) =(2an+1)/an =2 + 1/an ；
所以1/a(n+1) -1/an =2,
又a1=1，
那么1/an =2n-1,所以an=1/(2n-1)（1/an是等差数列）

当n>1时
bn=Sn-S(n-1)=12-12(2/3)^n-[12-12(2/3)^(n-1)]=4(2/3)^(n-1)
当n=1时，a1=4也满足。
所以bn=4(2/3)^(n-1)

Cn=4(2n-1)(2/3)^(n-1)>0
C(n+1)/Cn=[4(2n+1)(2/3)^n]/[4(2n-1)(2/3)^(n-1)]=2/3 * (2n+1)/(2n-1)
C1=4
n=1时，C2/C1=2,C2=2C1=8
n=2时，C3/C2=10/9,C3=10C2 /9=80/9
n≥3时，C(n+1)/Cn<1，即C3>C4>C5>C6>......Cn
C3是最大的项C3<9,
所以不存在。