Question

已知函数f(x)=2ax^2+2x-3在区间(0,1)内有零点,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）a=0，零点为x=-3/2，不符合；
（2）a>0，显然方程有一正一负两个根，所以只需正根在（0,1）内即可
f(0)=-3<0
f(1)=2a-1>0
所以a>1/2
（3）a<0，由于此时
f(0)=-3<0
f(1)=2a-1<0
所以f(x)的两个零点（可能只有一个）都在（0，1）内
此时需要：①有根；②对称轴在（0，1）内
所以条件为：①△=4+24a≥0 （解得：-1/6≤a<0）
②0<-1/2a<1 （解得a<-1/2)
所以此时无解

综上，a>1/2

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Answer 2

f(x)=2ax^2+2x-3=2a(x^2+3x/2a)-3=2a(x-3/4a)^2-3-9/8a
当F(0)>0,F(1)<0时，因为F(0)=-3,与假设矛盾，舍去
当F(0)<0,F(1)>0时，解得a>0，此时3/4a<1(因为对称轴3/4a>1会有F(1)<0的矛盾）综上所述，a>3/4

Answer 3

(1)a=0时,f(x)=2x-3=0时,x=3/2.不符合.
(2)a不=0时,在区间（0，1）内有零点,则有:
f(0)*f(1)<0
-3*(2a+2-3)<0
2a-1>0
即a>1/2