Question

lim((x→0) (sinx/x)^1/(1-cosx)

Answer 1

题目应该是x→0＋
用自然对数法
lim((x→0＋) ln(sinx/x)^1/(1-cosx)
=lim((x→0＋) ln(sinx/x)/(1-cosx) (等价无穷小代换）
=lim((x→0＋)2[ lnsinx-lnx]/x^2 (洛必达法则）
=lim((x→0＋) [ cosx/sinx-1/x]/x (通分）
=lim((x→0＋) [ xcosx-sinx]/(x^2sinx) (等价无穷小代换）
=lim((x→0＋) [ xcosx-sinx]/x^3 (洛必达法则）
=lim((x→0＋) [ cosx-xsinx-cosx]/(3x^2)
=lim((x→0＋) [ -xsinx]/(3x^2) (等价无穷小代换）
=-1/3
所以
lim((x→0＋) (sinx/x)^1/(1-cosx)
＝lim((x→0＋) e^[ln(sinx/x)^1/(1-cosx)]
=e^(-1/3)