Question

求证数学题！

已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x>0时，f（x）>0,试判断f（x)在（0，+∞）上的单调性！

Answer 1

由 f(0+0)=f(0)+f(0) 得 2f(0)=f(0), 所以 f(0)=0.
由 f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=f(0)=0 得 f(-x)=-f(x),知 f(x) 是奇函数。
设 x1,x2 是（0，+∞）上任意两个自变量的值，且 x1<x2，
因为 f(-x1)=-f(x1), 所以 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
因为 x2-x1>0,由已知，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
即 f(x2)>f(x1), 所以 f(x) 在（0，+∞）上是增函数。